试题

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．下列结论：①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S_△ABE=S_△ADE；④

BE2

AD2

=8-4

3

．正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BC=AD，
∵AE=AB，AB=2BC，
∴AE=2AD，
∵∠ADC=90°，M为AE中点，
∴DM=AM=ME=

1

2

AE，
∴DM=DA，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BA，
∴∠CEB=∠ABE，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠AEB=∠CEB，
即BE平分∠AEC，∴②正确；
∵S_△ADE=

1

2

×DE×AD，S_△ABE=

1

2

×AB×BC，
又∵AD=BC，BC=AD＞DE，
∴S_△ADE≠S_△ABE，∴③错误；
设AD=BC=a，则AE=2AD=2a=AB=DC，
由勾股定理得：DE=

3

a，
则EC=（2-

3

）a，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE²=CE²+BC²=（8-4

3

）a²，
即

BE2

AD2

=

(8-4 3 )a2

a2

=8-4

3

，∴④正确；
故选C．