试题

（1）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图1所示的直角梯形，其中三边长分别为5、9、12，则原直角三角形纸片的斜边长是．
（2）如图2，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：①S₁+S₂=S₃+S₄，②S₂+S₄=S₁+S₃，③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂，④若S₁=S₂，则P点在矩形的对角线上，其中正确的结论的序号是．

解：（1）如图：
因为CD=

52+122

=13，
点D是斜边AB的中点，
所以AB=2CD=26，
②如图：
因为CD=

122+92

=15，
点E是斜边AB的中点，
所以AB=2CE=30，
原直角三角形纸片的斜边长是26或30；

（2）如图，过点P分别作PF⊥AB于点F，PE⊥BC于点E，
∵△APD以AD为底边，△BDP以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面积；
同理可得出S₂+S₄=

1

2

矩形ABCD面积；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正确，则①S₁+S₂=S₃+S₄错误，
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此选项错误；
④若S₁=S₂，

1

2

×PF×AB=

1

2

PE×BC，
∴△APB与△PBC高度之比为：

PF

PE

=

AB

BC

，
∵∠PFB=∠FBE=∠PEB=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
∴此时矩形EPFB与矩形ABCD位似，
∴

PF

AD

=

PE

CD

，
∴P点在矩形的对角线上．
故④选项正确，
故答案为：②④．