试题

题目：
青果学院如图，ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠．点B落在E处，连接DE．四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？
答案
青果学院解：作DF⊥AC于F，EH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，
∴AD=BC=3cm，DC∥AB，
∴∠3=∠5，AC=
AB2+BC2
=
42+32
=5cm，
而S△ADC=
1
2
DF·AC=
1
2
AD·DC，
∴DF=
12
5
cm，
又∵把矩形沿直线AC折叠．点B落在E处，
∴BC=CE，AB=AE，∠4=∠5，
∴∠3=∠4，AD=EC，AE=DC，
在Rt△ADC与Rt△CEA中，
AC=CA
AD=CE

∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴DF=EH，
又∵DF∥EH，
∴四边形DFHE是平行四边形，
∴DE∥AC，且AD不平行EC，
∴四边形ACED是等腰梯形；
在Rt△ADF中，AF=
AD2-DF2
=
9
5
，
∴FH=AC-AF-CH=5-2×
9
5
=
7
5
，
∴DE=
7
5
，
∴四边形ACED的面积=
1
2
（
7
5
+5）·
12
5
=
192
25
（cm2）；
四边形ACED的周长=3+3+5+
7
5
=
62
5
（cm）．
∴它的面积是
192
25
cm2；周长是
62
5
cm．
青果学院解：作DF⊥AC于F，EH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，
∴AD=BC=3cm，DC∥AB，
∴∠3=∠5，AC=
AB2+BC2
=
42+32
=5cm，
而S△ADC=
1
2
DF·AC=
1
2
AD·DC，
∴DF=
12
5
cm，
又∵把矩形沿直线AC折叠．点B落在E处，
∴BC=CE，AB=AE，∠4=∠5，
∴∠3=∠4，AD=EC，AE=DC，
在Rt△ADC与Rt△CEA中，
AC=CA
AD=CE

∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴DF=EH，
又∵DF∥EH，
∴四边形DFHE是平行四边形，
∴DE∥AC，且AD不平行EC，
∴四边形ACED是等腰梯形；
在Rt△ADF中，AF=
AD2-DF2
=
9
5
，
∴FH=AC-AF-CH=5-2×
9
5
=
7
5
，
∴DE=
7
5
，
∴四边形ACED的面积=
1
2
（
7
5
+5）·
12
5
=
192
25
（cm2）；
四边形ACED的周长=3+3+5+
7
5
=
62
5
（cm）．
∴它的面积是
192
25
cm2；周长是
62
5
cm．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
作DF⊥AC于F，EH⊥AC于H，根据矩形的性质得到AD=BC=3cm，DC∥AB，则∠3=∠5，AC=5cm，利用等积法科计算出DF=
12
5
cm；再根据折叠的性质得到BC=CE，AB=AE，∠4=∠5，于是有∠3=∠4，AD=EC，AE=DC，易证得△ADC≌△CEA，则DE∥AC，且AD不平行EC，可判断四边形ACED是等腰梯形；利用勾股定理计算出AF，然后分别可求出等腰梯形的面积和周长．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质以及等腰梯形的判定．
计算题．
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