试题

如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：
（1）∠BAP=∠AQE；
（2）S_△APQ=S_矩形ABCD．

证明：（1）∵∠PAD+∠BAP=90°，∠QAD+∠AQE=90°，
∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE；

（2）在△ADQ和△ADE中，

∠PAD=∠QAD AD=AD ∠ADE=∠ADQ=90°

，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE，
∵∠BAP=∠AQE，∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABP∽△QDA，
∴

AB

DQ

=

PB

AD

，
∴DQ=

AB·AD

PB

，
∵S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE，
=

1

2

QE·BC+

1

2

QE·CP，
=

1

2

QE·PB，
=

1

2

×（2DQ）·PB，

1

2

×

2AB·AD

PB

·PB，
=AB·AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．
证明：（1）∵∠PAD+∠BAP=90°，∠QAD+∠AQE=90°，
∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE；

（2）在△ADQ和△ADE中，

∠PAD=∠QAD AD=AD ∠ADE=∠ADQ=90°

，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE，
∵∠BAP=∠AQE，∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABP∽△QDA，
∴

AB

DQ

=

PB

AD

，
∴DQ=

AB·AD

PB

，
∵S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE，
=

1

2

QE·BC+

1

2

QE·CP，
=

1

2

QE·PB，
=

1

2

×（2DQ）·PB，

1

2

×

2AB·AD

PB

·PB，
=AB·AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．