试题

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF．
（1）若AB=3，AD=4，求CF的长；
（2）求证：∠ADB=2∠DAF．

解：（1）∵因为四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
在RT△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5，
∴BE=BD=5CE=BE-BC=1，
∴DE=

CD2+CE2

=

10

，
∵F是DE的中点，
∴CF=

DE

2

=

10

2

；

（2）连接BF．
∵BE=BD，EF=DF，
∴∠DBF=∠EBF，
又∵CF=

1

2

DE=DF，
∴∠DCF=∠FDC，
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=BCF，
在△ADF和△BCF中，

DF=CF ∠ADF=∠BCF DA=CB

，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∴∠ADB=2∠DAF．
解：（1）∵因为四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
在RT△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5，
∴BE=BD=5CE=BE-BC=1，
∴DE=

CD2+CE2

=

10

，
∵F是DE的中点，
∴CF=

DE

2

=

10

2

；

（2）连接BF．
∵BE=BD，EF=DF，
∴∠DBF=∠EBF，
又∵CF=

1

2

DE=DF，
∴∠DCF=∠FDC，
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=BCF，
在△ADF和△BCF中，

DF=CF ∠ADF=∠BCF DA=CB

，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∴∠ADB=2∠DAF．