试题

已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=-

1

2

x+b交折线O-A-B于点E．

（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；
（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为．

解：（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），
∴点B的坐标为（6，2）．
若直线y=-

1

2

x+b经过点C（0，2），则b=2；
若直线y=-

1

2

x+b经过点A（6，0），则b=3；
若直线y=-

1

2

x+b经过点B（6，2），则b=5．
①当点E在线段OA上时，即2＜b≤3时，（如图）
∵点E在直线y=-

1

2

x+b上，
当y=0时，x=2b，
∴点E的坐标为（2b，0）．
∴S=

1

2

·2b·2=2b．
②当点E在线段BA上时，即3＜b＜5时，（如图）
∵点D，E在直线y=-

1

2

x+b上
当y=2时，x=2b-4；
当x=6时，y=b-3，
∴点D的坐标为（2b-4，2），点E的坐标为（6，b-3）．
∴S=S_矩形OABC-S_△COD-S_△OAE-S_△DBE=6×2-

1

2

(2b-4)·2-

1

2

(b-3)·6-

1

2

[6-(2b-4)][2-(b-3)]=-b²+5b．
综上可得：S=

2b(2＜b≤3) -b2+5b(3＜b＜5).

（2）证明：如图．
∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形
∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，
即DN∥ME，DM∥NE．
∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．
∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′
∴∠DEM=∠DEN．
∴∠NDE=∠DEN．
∴ND=NE．
∴四边形DMEN是菱形．

（3）解：y=-

1

2

x+b
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=2b，
∴OQ=b，OE=2b
过DH⊥OE于H，
∴DH=2，
∵∠QOE=90°，DH⊥OA，
∴DH∥OQ，
∴△DHE∽△QOE，
∴

QO

DH

=

OE

HE

，
即

b

DH

=

2b

HE

，
∴HE=2DH=4，
设DM=ME=x，
在△DHM中，由勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5，
故答案为：2.5．