试题

（2008·怀化）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

解：（1）由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S_△EFA=S_△BAF=S_△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF
证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四边形EFBA为菱形
∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
设BD=x，则AC=AB=2x
∵S_△ABC=3，且S_△ABC=

1

2

AC·BD=

1

2

·2x·x=x²
∴x²=3
∵x为正数
∴x=

3

∴AC=2

3

．
解：（1）由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S_△EFA=S_△BAF=S_△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF
证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四边形EFBA为菱形
∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
设BD=x，则AC=AB=2x
∵S_△ABC=3，且S_△ABC=

1

2

AC·BD=

1

2

·2x·x=x²
∴x²=3
∵x为正数
∴x=

3

∴AC=2

3

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