试题

如图，在·ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．

（1）证明：在·ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴AE=DF，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAC=∠D AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）解：∠P=90°时，四边形BECF是菱形．理由如下：
在·ABCD中，AB∥CD，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠ABC=∠P=90°，
∵E是AC的中点，
∴BE=CE=

1

2

AC，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴BF=CE，
又∵AC∥BD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴四边形BECF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
（1）证明：在·ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴AE=DF，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAC=∠D AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）解：∠P=90°时，四边形BECF是菱形．理由如下：
在·ABCD中，AB∥CD，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠ABC=∠P=90°，
∵E是AC的中点，
∴BE=CE=

1

2

AC，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴BF=CE，
又∵AC∥BD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴四边形BECF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．