试题

如图，·ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若BG=6，AG=8，AB=10，求证：四边形DEBF是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=

1

2

CD，BE=

1

2

AB，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵BG=6，AG=8，AB=10，
∴BG²+AG²=AB²，
∴∠G=90°，
∵AG∥DB，AD∥BC，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∴∠ADB=∠G=90°，
∵E为边AB的中点，
∴DE=BE=

1

2

AB，
∴·DEBF是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=

1

2

CD，BE=

1

2

AB，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵BG=6，AG=8，AB=10，
∴BG²+AG²=AB²，
∴∠G=90°，
∵AG∥DB，AD∥BC，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∴∠ADB=∠G=90°，
∵E为边AB的中点，
∴DE=BE=

1

2

AB，
∴·DEBF是菱形．