试题

（2010·岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C₁点的位置，连接AC₁．
求证：四边形ABDC₁是菱形．

证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°
∴BA=

1

2

AC．
又∵BD是斜边AC的中线，
∴BD=AD=

1

2

AC=CD．
∴BD=AB=CD，
∴∠C=∠DBC=30°，
∵将△BCD沿BD折叠得△BC₁D，
∴△CBD≌△C₁BD，
∴CD=DC₁，
∴AB=BD=DC₁，
∴∠C₁BA=∠BC₁D=30°，
∴BA∥DC₁，DC₁=AB，
∴四边形ABDC₁为平行四边形，
又∵AB=BD，
∴平行四边形ABDC₁为菱形．
证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°
∴BA=

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AC．
又∵BD是斜边AC的中线，
∴BD=AD=

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AC=CD．
∴BD=AB=CD，
∴∠C=∠DBC=30°，
∵将△BCD沿BD折叠得△BC₁D，
∴△CBD≌△C₁BD，
∴CD=DC₁，
∴AB=BD=DC₁，
∴∠C₁BA=∠BC₁D=30°，
∴BA∥DC₁，DC₁=AB，
∴四边形ABDC₁为平行四边形，
又∵AB=BD，
∴平行四边形ABDC₁为菱形．