试题

题目：
四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．
答案
解：由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
所以（a4-2a2b2+b4）+（c4-2c2d2+d4）+（2a2b2-4abcd+2c2d2）=0，
即（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．
因为a，b，c，d都是实数，
所以（a2-b2）2≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所
a2-b2=0                ①
c2-d2=0                ②
ab-cd=0                 ③
 
由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．
解：由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
所以（a4-2a2b2+b4）+（c4-2c2d2+d4）+（2a2b2-4abcd+2c2d2）=0，
即（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．
因为a，b，c，d都是实数，
所以（a2-b2）2≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所
a2-b2=0                ①
c2-d2=0                ②
ab-cd=0                 ③
 
由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．
考点梳理
因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；菱形的判定．
观察a4+b4+c4+d4=4abcd，运用完全平方式转化为（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．运用非负数的性质，偶次方大于等于0．因此可解得a、b、c、d间的数值关系．因此可知四边形的形状．
本题考查因式分解的应用、非负数的性质、菱形的判定．解决本题的关键是将等式转化为多项平方和的形式，令其每项均大于等于0，解出a、b、c、d数值关系．
转化思想．
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