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如图，AB∥A′B′，AC∥A′C′，且BB′=CC′，你能说明AC=A′C′的理由吗？
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已知：如图，AB⊥CD，垂足为D，AD=BD．
求证：AC=BC． -
如图，以△ABC的边AB、AC为边向三角形外画正方形ABDE和正方形ACFG．请你说明线段BG经过怎样的运动可以和线段EC重合？并请问图中△ABG和△AEC是否一定存在？若不是，请指出在何条件下存在．
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如图．梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC中点，EF⊥DE交AB于F．求证：DE平分∠CDF．
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在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球 Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P．证明：P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．
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探索与创新：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为CD中点，AE与BC的延长线交于F．
（1）判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由；
（2）判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由；
（3）上述结论对一般梯形是否成立？为什么？ -
如图所示，已知四边形ABCD的AB∥DC，E为AD中点，
以下五个论断：
（1）∠A=90°；
（2）AB+CD=BE；
（3）S△BEC=
S梯形ABCD；1 3
（4）BE平分∠ABC；
（5）∠BEC=90度．
请你选择相关的两个论断，将其中一个作为条件，另一个作结论构造一个正确的命题并加以证明． -
如图：梯形ABCD中，AD∥BC，S△ADC：S△ABC=2：3，而对角线中点M、N的连线段为10cm，求梯形两底的长．
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命题：已知如图所示，正方形ABCD的对角线的交点为O，E是AC上一点，AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF．
（1）证明上述命题．
（2）对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图所示，则结论“OE=OF”还成立吗？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．
- 在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证：EF=AP．