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探索与思考
观察下列等式：
（1）想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？答：等式左边各项幂的底数和等于右边幂的底数等式左边各项幂的底数和等于右边幂的底数
（2）试一试：13+23+33+43+…+93=20252025．
（3）猜一猜：13+23+33+43+…+n3=n2(n+1)2 4 ．n2(n+1)2 4 -
（1）在数
，2 10
，3 10
，4 10
，5 10
，6 10
，7 10
，8 10
的前面添上“+”或“-”使它们的和为9 10
（即4 10
）；2 5
（2）在数
，2 10
，3 10
，4 10
，5 10
，6 10
，7 10
，8 10
的前面添上“+”或“-”使它们的和为1；（写出2种情况）9 10
（3）有一些数，它们两两相加所得的和与它们两两相乘所得的积相等，例如
+(-1)=1 2
×(-1)，1 2
+4=4 3
×4，4 3
+(-3)=3 4
×(-3)，请你找出类似的三对数．3 4 -
有规律排列的一列数：3，6，9，12，15，18，21，…，先探究其规律，再解答下列问题：
（1）你认为它的第28项是什么？
（2）2010是这列数的第几项？
（3）2014是不是这列数中的数？如果是，请指出是第几项？如果不是，请你说明理由． -
观察下列等式
=1-1 1×2
，1 2
=1 2×3
-1 2
，1 3
=1 3×4
-1 3
，将以上三个等式两边分别相加得：1 4
+1 1×2
+1 2×3
=1-1 3×4
+1 2
-1 2
+1 3
-1 3
=1-1 4
=1 4
．3 4
（1）猜想并写出：
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
-1 n 1 n+1
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
=1 2011×2012 2011 2012 2011 2012
②
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
=1 n×(n+1) n n+1 n n+1
（3）探究并计算：
+1 2×4
+1 4×6
+…+1 6×8
．1 2010×2012 -
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：35-5×34+10×33-10×32+5×3-1． -
已知|x1-1|+（x2-2）2+|x3-3|+（x4-4）2+…+|x1999-1999|+（x2000-2000）2=0，
求
+1 x1x2
+1 x2x3
+…+1 x3x4
的值．1 x1999x2000 -
阅读下面的文字，完成后面问题．我们知道
=1-1 1×2
，1 2
=1 2×3
-1 2
，1 3
=1 3×4
-1 3
，那么1 4
=1 4×5
-1 4 1 5 ，
-1 4 1 5
=1 2003×2004
-1 2003 1 2004 ．用含有n的式子表示你发现的规律：
-1 2003 1 2004
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1 ．并依此计算
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
+1 1×3
+1 3×5
+…+1 5×7
．1 2003×2005 -
按规律填数：
，-1 2
，2 5
，-3 10
，4 17 5 26 ，…5 26 -
观察下列式子：12=1，1+3=22，1+3+5=32，…用关于n的等式表示规律为1+3+5+…+（2n-1）=n21+3+5+…+（2n-1）=n2．
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观察下列各等式：
+1 1-4
=2，7 7-4
+2 2-4
=2，6 6-4
+3 3-4
=2，5 5-4
+10 10-4
=2，…．根据以上各等式成立的规律，若使等式-2 -2-4
+19 19-4
=2成立，则m=n m-4 -11-11，n=-11-11．