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（1997·甘肃）如图，D是△ABC外接圆上的一点，且BD=DC=6cm，连接AD交BC于M，如果AM=9cm，求AD的长．
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（2012·德城区三模）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点
纸片利用率=
×100%纸片被利用的面积 纸片的总面积
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点． -
（2013·莘县二模）如图，AB为⊙O的直径，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在
上取一点D，直线CD、ED分别交直线AB于点F和M．
CB
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）已知OM=1，MF=3，请求出⊙O的半径并计算tan∠DMF的值． -
（2013·宁波模拟）如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．
（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=10cm，求阴影部分面积． -
（2005·泸州）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且AE=EC，求证：AD=BC．
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（2005·辽宁）如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2，
（1）若△APB为直角三角形，求PB的长；
（2）若△APB为等腰三角形，求△APB的面积． -
（2005·常德）有一个未知圆心的圆形工件．现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心．要求在图上保留画图痕迹，写出画法．
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（2004·内江）如图，∠BAC的平分线AE交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．求证：BE2=ED·EA．
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（2004·锦州）如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，A是
上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点．
BmC
（1）当△ABC是锐角三角形（图①）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形（不要求尺规作图），并按图①标记字母；
（3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明．
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（2004·常州）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长．