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（2005·河北）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长．
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（2013·贵阳模拟）请阅读下列材料：
问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）
（1）设路线1的长度为L1，则L12=4949．设路线2的长度为L2，则L22=25+π225+π2．所以选择路线22（填1或2）较短．
（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=121121．路线2：L22=1+25π21+25π2．所以选择路线11（填1或2）较短．
（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短． -
（2011·无为县模拟）如图，将正方体沿粗线剪开．
（1）以所给的正方形ABCD为基础，画出它的展开图；
（2）若正方体的棱长为2cm，在正方体的顶点A处有一只小虫沿着正方体的表面爬行到顶点E处，求小虫爬行的最短距离． -
（2011·石家庄模拟）动手操作：如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A′A′重合，点B与点B′B′重合．
探究与发现：
（1）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是5050cm；（丝线的粗细忽略不计）
（2）如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？
实践与应用：
如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE，CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则sinα=1 8π ．1 8π 
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（2010·拱墅区一模）如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要73 cm．（直接填空）73 -
（2009·鼓楼区二模）研究课题：蚂蚁怎样爬最近？
研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1=
=AC2+CC12
=5102+52
cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．5
研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为234 2．34
（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
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圆柱体如图所示．
（1）画出该圆柱的侧面展开图，并在展开图中标明字母A、B、C、D的位置；
（2）一只蚂蚁位于该圆柱体的点A处，食物位于该圆柱体的点D处．请写出蚂蚁获得食物的最佳方案． -
如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．
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附加题：有一圆柱体高为10 cm，底面圆的半径为4 cm，AA1、BB1为相对的两条母线，在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3 cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，求最短路径．
（答案保留两个有效数字） -
如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．