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（2010·枣庄）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值． -
（2010·永州）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的
上任意一点．求证：PB+PC=PA；
BC
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在
上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+BC P′DP′D；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段ADAD的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
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（2010·益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：
（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出
的值（用含α的三角函数表示）．MM′ N′N 
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（2010·盐城）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．
（1）求sin∠DBC的值；
（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积． -
（2010·襄阳）如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．
（1）求证：AB=DE；
（2）若AC交DE于M，且AB=
，ME=3
，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．2 -
（2010·潍坊）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=
2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1、AE1．
（1）求证：△OAE1≌△OCF1；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由． -
（2010·苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2
，0)、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为3 （
+1，3
+1）或（3
-1，1-3
）3 （．
+1，3
+1）或（3
-1，1-3
）3 -
（2010·宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若
DE=2
，∠DPA=45°．3
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积． -
（2010·丽水）如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB=16cm
，cos∠OBH=
．4 5
（1）求⊙O的半径；
（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由． -
（2010·济南）（1）计算：
+（-3）01
+25
（2）如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=
．求线段AD的长．3