试题

题目：
青果学院如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，过D作DE⊥AB，垂足为E点．
（1）求证：AB=AC+CD；
（2）已知AC=4cm，求CD的长．
答案
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD．
又∠AED=∠C=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED．
∴AE=AC，DE=CD．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°．
∴∠BDE=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

（2）解：设CD=xcm，根据等腰直角三角形的性质，得BD=
2
xcm．
又AC=BC，
∴
2
x+x=4，
x=4
2
-4．
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD．
又∠AED=∠C=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED．
∴AE=AC，DE=CD．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°．
∴∠BDE=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

（2）解：设CD=xcm，根据等腰直角三角形的性质，得BD=
2
xcm．
又AC=BC，
∴
2
x+x=4，
x=4
2
-4．
考点梳理
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
（1）根据AAS可以证明△ACD≌△AED，得AE=AC，DE=CD．根据等腰直角三角形的性质，得∠B=45°，则∠BED=45°，从而证明DE=BE，则AB=AC+CD；
（2）设CD=xcm，根据等腰直角三角形的性质，得BD=
2
xcm，再根据AC=BC列方程求解．
此题综合运用了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及一元一次方程的知识．
计算题；证明题．
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