试题

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠A=∠B=30°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E．
（1）AB=；
（2）当AD等于多少时，△ADC≌△BED，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠ADC的度数；若不可以，说明理由．

解：（1）
过C作CM⊥AB于M，
∵AC=BC，
∴AB=2AM，∠AMC=90°，
∵AC=2，
∠A=30°，
∴CM=

1

2

AC=1，由勾股定理得：AM=

22-12

=

3

，
∴AB=2AM=2

3

，
故答案为：2

3

．

（2）当AD等于2

3

-2时，△ADC≌△BED，
理由是：∵∠A=∠CDE=∠B=30°，
∴∠ACD+∠ADC=150°，∠ADC+∠EDB=150°，
∴∠ACD=∠EDB，
∴当AC=BD时△ADC≌△BED，
即BD=AC=2，
∴AD=AB-BD=2

3

-2，
即当AD=2

3

-2时，△ADC≌△BED．

（3）△CDE的形状可以是等腰三角形，∠AED的度数为105°或60°，
理由是：∵∠B=30°，
∴∠CED＞30°，
即分为两种情况：①CD=DE，
∵∠CDE=30°，
∴∠DCE=∠DEC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠EDB=∠CED-∠B=45°，
∴∠ADC=180°-30°-45°=105°；
②DE=CE，
∵∠CDE=30°，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∴∠CED=180°-30°-30°=120°，
∴∠EDC=∠CED-∠B=120°-30°=90°，
∴∠ADC=180°-30°-90°=60°；
即在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形，∠ADC的度数是105°或60°．