试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足． 
（1）求证：DC=BE；
（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．
答案
青果学院解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=
1
2
AB，
∴DC=BE；

（2）∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=66°，则∠BCE=22°．
青果学院解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=
1
2
AB，
∴DC=BE；

（2）∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=66°，则∠BCE=22°．
考点梳理
直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=
1
2
AB，即可得到DC=BE；
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
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