试题

题目：
设正实数a、b、c满足a+b+c=1，y=
1-3a2
+
1-3b2
+
1-3c2
，则y的范围是
3-
3
＜y≤
6
3-
3
＜y≤
6
．
答案
3-
3
＜y≤
6

青果学院解：如图所示构造直角三角形，设AH=
3
a，DE=
3
b，FG=
3
c，
且AD=DF=BF=1，则DH=
1-3a2
，EF=
1-3b2
，BG=
1-3c2
．
利用三角形三边关系得出：DH＞AD-AH，EF＞DF-DE，BG＞BF-FG，
叠加可得
1-3a2
+
1-3b2
+
1-3c2
＞3-
3
．
而AB≤AD+DF+FB=3，
故DH+EF+BG=BC=
AB2-AC2
≤
9-3
=
6
，
即
1-3a2
+
1-3b2
+
1-3c2
≤
6
．
故答案为：3-
3
＜y≤
6
．
考点梳理
轴对称-最短路线问题．
首先构造直角三角形，设AH=
3
a，DE=
3
b，FG=
3
c，利用AD=DF=BF=1得出DH，EF，BG的长，再利用三角形三边关系得出y的取值范围．
此题主要考查了勾股定理以及三角形三边关系，利用已知构造出直角三角形得出是解题关键．
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