试题

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为；
（2）当AC+CE的值最小时，最小值为；
（3）仿照（1）（2）中的方法，构造图形并求出代数式 

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．（图中的线段标出必要的数和字母）

解：（1）AC+CE=

BC2+AB2

+

CD2+DE2

=

9+(12-x)2

+

4+x2

，即AC+CE=

9+(12-x)2

+

4+x2

；
故填：

9+(12-x)2

+

4+x2

；

（2）当点C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小．
如图1所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD．
AE=

AF2+EF2

=

122+(3+2)2

=13．
故填：13；

（3）如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，连接AE交BD于点C，
∵AE=AC+CE=

x2+9

+

(24-x)2+16

，
∴AE的长即为代数式 

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=3，AF=BD=12．
所以AE=

AF2+EF2

=

242+(3+4)2

=25，即AE的最小值是25．
所以代数式 

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值为25．