试题

题目：
青果学院（2012·青田县模拟）为了探索代数式
x2+1
+
(8-x)2+25
的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=
x2+1
，CE=
(8-x)2+25
，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得
x2+1
+
(8-x)2+25
的最小值等于
10
10
，此时x=
4
3
4
3
；
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．
答案
10

4
3

青果学院解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，
根据题意，四边形BDEF为矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE=
62+82
=10．
即AC+CE的最小值是10．
x2+1
+
(8-x)2+25
=10，
∵EF∥BD，
∴
AB
AF
=
BC
EF
，
∴
1
6
=
x
8
，
解得：x=
4
3
．

青果学院（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴AE=
52+122
=13．
即AC+CE的最小值是13．
考点梳理
轴对称-最短路线问题．
（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点．在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解．
（2）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．
本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．
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