试题

题目：如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．由已知易证△ABE≌△ADC，得BE=DC．

扩变：
1．如图2，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠D=∠E=90°，那么 BE=DC吗？
2．如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还成立吗？（2）BE⊥DC．
3．如图4，若点A在线段BC上，△ABD，△AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？
4．在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5．
（1）AF=AG吗？
（2）△AFG是等边三角形吗？为什么？

解：1．BE≠DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AD，AC=

2

AE，∠DAB=∠EAC=45°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ABE和△ADC不全等，
∴BE与DC不相等．
2．（1）BE=DC成立．理由如下：
∵四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（2）BE⊥DC．理由如下：AC与BE相交于N点，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE．
∴∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，
∴BE⊥DC；
3．BE=DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；

4．（1）AF=AG．理由如下：
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC．
在△ABF和△ADG中

AB=AD ∠BAF=∠DAG ∠ABF=∠ADG

，
∴△ABF≌△ADG（ASA），
∴AF=AG．
（2）△AFG是等边三角形．理由如下：
∵AF=AG，
而∠DAE=60°，
∴△AFG是等边三角形．
解：1．BE≠DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AD，AC=

2

AE，∠DAB=∠EAC=45°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ABE和△ADC不全等，
∴BE与DC不相等．
2．（1）BE=DC成立．理由如下：
∵四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（2）BE⊥DC．理由如下：AC与BE相交于N点，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE．
∴∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，
∴BE⊥DC；
3．BE=DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；

4．（1）AF=AG．理由如下：
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC．
在△ABF和△ADG中

AB=AD ∠BAF=∠DAG ∠ABF=∠ADG

，
∴△ABF≌△ADG（ASA），
∴AF=AG．
（2）△AFG是等边三角形．理由如下：
∵AF=AG，
而∠DAE=60°，
∴△AFG是等边三角形．