试题

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

证明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO=CD，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠DCO=60°，
∴△COD是等边三角形．

（2）解：AD∥OC，
理由是：∵△DOC是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°，
∵∠α=120°，△COB≌△CDA，
∴∠ADC=∠COB=120°，
∴∠ADO=120°-60°=60°，
∴∠ADO=∠DOC=60°，
∴AD∥OC．

（3）解：∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-110°-∠α-60°=190°-∠α，
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（190°-∠α）=50°，
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=190°-∠α，
解得：∠α=125°；
若∠ADO=∠OAD，则∠α-60°=50°，
解得：∠α=110°；
若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-∠α，
解得：∠α=140°；
即当a为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
证明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO=CD，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠DCO=60°，
∴△COD是等边三角形．

（2）解：AD∥OC，
理由是：∵△DOC是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°，
∵∠α=120°，△COB≌△CDA，
∴∠ADC=∠COB=120°，
∴∠ADO=120°-60°=60°，
∴∠ADO=∠DOC=60°，
∴AD∥OC．

（3）解：∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-110°-∠α-60°=190°-∠α，
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（190°-∠α）=50°，
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=190°-∠α，
解得：∠α=125°；
若∠ADO=∠OAD，则∠α-60°=50°，
解得：∠α=110°；
若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-∠α，
解得：∠α=140°；
即当a为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．