试题

题目：
青果学院已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点D；交AC于的E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接BE，若BC=1，求△BCE的周长．
答案
青果学院解：（1）AB的垂直平分线DE如图所示；

（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，
∴AB=2BC=2×1=2，
根据勾股定理，AC=
AB2-BC2
=
22-12
=
3
，
∴△BCE的周长=
3
+1．
青果学院解：（1）AB的垂直平分线DE如图所示；

（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，
∴AB=2BC=2×1=2，
根据勾股定理，AC=
AB2-BC2
=
22-12
=
3
，
∴△BCE的周长=
3
+1．
考点梳理
作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
（1）分别以A、B两点为圆心，以大于
1
2
AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=AE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出AC的长，即可得解．
本题考查了复杂作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
作图题．
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