试题

D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN
（1）∠MDN=度；
（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD；
（3）在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH．

（1）解：如图，将△BDM顺时针旋转120°得到△CDE，
则DM=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
∴EN=CE+CN=BM+CN=MN，
∵BM+CN=MN，
∴MN=EN，
在△DMN和△DEN中，

MN=EN DM=DE DN=DN

，
∴△DMN≌△DEN（SSS），
∴∠MDN=∠EDN，
∴∠MDN=

1

2

∠BDC

1

2

×120°=60°；

（2）证明：△DMN的高DH如图，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=

1

2

（180°-120°）=30°，
在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=60°+30°=90°，
∴BD⊥AB，CD⊥AC，
S_△DMN=

1

2

MN·DH，S_△BDM+S_△CDN=

1

2

BM·BD+

1

2

CN·CD=

1

2

BD·（BM+CN），
∵BM+CN=MN，S_△DMN=S_△BDM+S_△CDN，
∴BD=DH；

（3）证明：∵∠ABD=90°，DH⊥MN，BD=DH，
∴MD平分∠BDH．