试题

题目：
青果学院海中有一个小岛A，它的周围24海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，航行12海里到达D点，此时测得小岛A在北偏东30°方向上．
（1）求小岛A到D的距离；
（2）如果鱼船不改变航线继续向东航行，请问有没有触礁的危险？并说明理由．（结果保留根号）
答案
青果学院解：（1）过点A作AC⊥BD于点C，
∵在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，航行12海里到达D点，此时测得小岛A在北偏东30°方向上，
∴∠ABC=45°，BD=12海里，∠ADC=60°，
∴AC=BC，
设 CD=x，则AC=
3
x，
故12+x=
3
x，
解得：x=6（
3
+1），
则AD=2DC=12（
3
+1），
答：小岛A到D的距离为12（
3
+1）海里；

（2）∵DC=6（
3
+1）海里，∴AC=6（
3
+1）×
3
=（18+6
3
）（海里）＞24海里，
故鱼船不改变航线继续向东航行，有触礁的危险．
青果学院解：（1）过点A作AC⊥BD于点C，
∵在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，航行12海里到达D点，此时测得小岛A在北偏东30°方向上，
∴∠ABC=45°，BD=12海里，∠ADC=60°，
∴AC=BC，
设 CD=x，则AC=
3
x，
故12+x=
3
x，
解得：x=6（
3
+1），
则AD=2DC=12（
3
+1），
答：小岛A到D的距离为12（
3
+1）海里；

（2）∵DC=6（
3
+1）海里，∴AC=6（
3
+1）×
3
=（18+6
3
）（海里）＞24海里，
故鱼船不改变航线继续向东航行，有触礁的危险．
考点梳理
解直角三角形的应用-方向角问题．
（1）首先过点A作AC⊥BD于点C，然后在Rt△ADC中，由∠ADC=60°，利用三角函数的知识即可求得DC以及AD的长；
（2）又由C岛的周围24海里以内有暗礁，比较AC与24的大小，即可得船继续向东航行是否会有触礁的可能．
此题考查了方向角的知识．此题难度不大，解题的关键是注意三角函数的应用，注意数形结合思想的应用．
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