试题

（2011·太原二模）在某张航海图上，标明了三个观测站的坐标，它们分别是O（0，0）、B（6，0）和C（6，8），由这三个站点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求该生物保护区的面积；
（2）某时刻海面上出现一艘渔船A，在观测站O测量A位于北偏东60°方向，同时在观测站B测得A位于北偏东30°方向，求渔船A与观测站B的距离；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入生物保护区？请说明理由．

解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心，则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

OB2+CB2

=10，
∴半径OO′=5，S_⊙O′=π·5²=25π；

（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=∠CBA=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，AD=

3

x，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，
在Rt△AOD中，∠AOD=90°-60°=30°，
∴OD=

3

AD，即6+x=

3

×

3

x，
解得x=3，
∴AB=2x=2×3=6；

（3）解法一：过点A作AG⊥y轴于点G，过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=

1

2

OB=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=

52-32

=4，
∵四边形FEDA为矩形，
∴EF=DA，而AD=

3

x=3

3

，
∴O′F=3

3

-4≈1.196＜5，
∴直线AG与⊙O′相交，A船会进入海洋生物保护区．
解法二：AD=

3

x=3

3

，
设直线O′F交⊙O′于点P，PE=5+4=9＞3

3

，即PE＞AD，
由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＞FE，
所以A船会进入海洋生物保护区．
解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心，则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

OB2+CB2

=10，
∴半径OO′=5，S_⊙O′=π·5²=25π；

（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=∠CBA=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，AD=

3

x，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，
在Rt△AOD中，∠AOD=90°-60°=30°，
∴OD=

3

AD，即6+x=

3

×

3

x，
解得x=3，
∴AB=2x=2×3=6；

（3）解法一：过点A作AG⊥y轴于点G，过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=

1

2

OB=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=

52-32

=4，
∵四边形FEDA为矩形，
∴EF=DA，而AD=

3

x=3

3

，
∴O′F=3

3

-4≈1.196＜5，
∴直线AG与⊙O′相交，A船会进入海洋生物保护区．
解法二：AD=

3

x=3

3

，
设直线O′F交⊙O′于点P，PE=5+4=9＞3

3

，即PE＞AD，
由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＞FE，
所以A船会进入海洋生物保护区．