试题

如图，某城市有一条公路，从正西方向AO经过市中心，后转向北偏东30°方向OB．现要修建一条高速公路L，新建高速公路在OA上设一出入口A，在OB上设一出入口B，高速公路在AB段为直线段．
（1）若OA=OB=20km，求两出入口之间的距离；
（2）若OB=2OA，市中心O到高速公路L的距离为10km，求两出入口之间的距离；
（3）请你设计一种方案：确定两出入口的位置（两出入口到市中心O的距离不相等），使市中心到高速公路的距离扩大到12km．（不要求写出计算过程）

解：（1）作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠BCO=90°．
∵OA=OB=20km∠AOB=120°，
∴∠CAO=∠CBO=30°．
∴OC=

1

2

OA=10km．
∴AC=BC=

3

OC=10

3

km．
∴AB=20

3

km．
答：两出入口之间的距离是20

3

km．

（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∴∠ACO=∠BCO=∠BDO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOD=60°
∴∠OBD=90°-60°=30°
设OD=x则BD=

3

x，
∵OB=2OA，
∴OA=x则AD=AO+DO=2x  AB=

AD2+BD2

=

7

x．
∵∠A=∠A，
∴△AOC∽△ABD．
∴

OC

BD

=

AO

AB

即

10

3 x

=

x

7 x

解得x=

10 21

3

．
∴AB=

7

x=

70 3

3

．

（3）答案不唯一：只要能够说出一组符合要求的OA和OB的长度即可，如取OA=15 km时，OB=

240+180 3

11

km，
（OA和OB的值大于12 km，且OA≠OB，先给出OA的值，然后求OB的值）不要求写出计算过程．
解：（1）作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠BCO=90°．
∵OA=OB=20km∠AOB=120°，
∴∠CAO=∠CBO=30°．
∴OC=

1

2

OA=10km．
∴AC=BC=

3

OC=10

3

km．
∴AB=20

3

km．
答：两出入口之间的距离是20

3

km．

（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∴∠ACO=∠BCO=∠BDO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOD=60°
∴∠OBD=90°-60°=30°
设OD=x则BD=

3

x，
∵OB=2OA，
∴OA=x则AD=AO+DO=2x  AB=

AD2+BD2

=

7

x．
∵∠A=∠A，
∴△AOC∽△ABD．
∴

OC

BD

=

AO

AB

即

10

3 x

=

x

7 x

解得x=

10 21

3

．
∴AB=

7

x=

70 3

3

．

（3）答案不唯一：只要能够说出一组符合要求的OA和OB的长度即可，如取OA=15 km时，OB=

240+180 3

11

km，
（OA和OB的值大于12 km，且OA≠OB，先给出OA的值，然后求OB的值）不要求写出计算过程．