试题

如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮的方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度向小岛B靠拢．我海军舰艇立即以21海里/时的速度去营救．
（1）求舰艇靠近渔轮所需的时间．
（2）设舰艇的航向与AC的夹角为α，求α的正弦值．

解：（1）设靠近渔船所需的时间为t小时，那么AB=21t（海里）．BC=9t（海里）．
根据余弦定理可得：
AB²=AC²+BC²-2AC·BC·cos120°
（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化简得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合题意舍去）
答：靠近渔船需要的时间为

2

3

小时．

（2）由（1）得出的时间值可得：AB=14，BC=6
根据正弦定理可得：

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

sin∠CAB=BC·sin120°÷AB=6×

3

2

÷14=

3 3

14

即sin∠α=

3 3

14

．
解：（1）设靠近渔船所需的时间为t小时，那么AB=21t（海里）．BC=9t（海里）．
根据余弦定理可得：
AB²=AC²+BC²-2AC·BC·cos120°
（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化简得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合题意舍去）
答：靠近渔船需要的时间为

2

3

小时．

（2）由（1）得出的时间值可得：AB=14，BC=6
根据正弦定理可得：

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

sin∠CAB=BC·sin120°÷AB=6×

3

2

÷14=

3 3

14

即sin∠α=

3 3

14

．