试题

题目：
己知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，OE：ED=1：3，AE=2
3
，AB：AD=
3
3
或
15
3
3
3
或
15
3
．
答案
3
3
或
15
3

解：①如图1，点E在BO上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵OE：ED=1：3，
∴BE=OB-OE=OD-OE=（ED-OE）-OE=3OE-OE-OE=OE，
∴BE=OE，
∴AE∥OB且平分OB，
∴AO=AB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△ABO是等边三角形，青果学院
∴∠ABO=60°，
∴AB：AD=tan∠ABO=cot60°=
3
3
；
②如图2，点E在OD上时，设OE为x，
∵OE：ED=1：3，
∴ED=3x，BE=OE+OB=x+（x+3x）=5x，
由直角三角形的性质，△ADE∽BAE，
∴
ED
AE
=
AE
BE
，
即
3x
2
3
=
2
3
5x
，
解得x2=
4
5
，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，AD=
ED2+AE2
=
9×
4
5
+12
=
4
5
30
，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，AB=
AB2+AE2
=
25×
4
5
+12
=
20
5
2
，
所以，AB：AD=
20
5
2
：
4
5
30
=
15
3
．
综上所述，AB：AD=
3
3
或
15
3
．
故答案为：
3
3
或
15
3
．
考点梳理
矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
作出图形，分①点E在BO上时，根据OE：ED求出点E为BO的中点，然后根据矩形的对角线互相平分且相等求出△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠ABO=60°，然后利用60°角的余切值解答；②点E在OD上时，设OE为x，根据比例表示出ED的长，再根据矩形的对角线互相平分且相等表示出BE的长，然后根据相似三角形对应边成比例列出求出x2，再利用勾股定理求出AD、AB的长，即可得解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，相似三角形的对应边成比例，注意要分情况讨论求解．
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