试题

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）试说明：△ABF是等腰三角形；
（2）若AD=DC，试说明：AC=2AB．

（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC=∠FAE ∠ABC=∠AFE AC=AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF，
∴△ABF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥AC于点F，AD=DC，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴F是AC的中点，
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BF=

1

2

AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB
（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC=∠FAE ∠ABC=∠AFE AC=AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF，
∴△ABF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥AC于点F，AD=DC，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴F是AC的中点，
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BF=

1

2

AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB