试题

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．
（1）求证：△EFC是等边三角形；
（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△AFC和△BEC中，

AF=BE ∠B=∠2 AC=BC

，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴FC=EC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△EFC是等边三角形；

（2）解：△AEF的周长有最小值，
理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，
∴EF也是最短的．
CE是边长为2等边△ABC的高，
∴CE=

3

，EF=

3

，
所以AE+AF+EF=2+

3

．
∴△AEF周长的最小值为：2+

3

．
（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△AFC和△BEC中，

AF=BE ∠B=∠2 AC=BC

，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴FC=EC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△EFC是等边三角形；

（2）解：△AEF的周长有最小值，
理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，
∴EF也是最短的．
CE是边长为2等边△ABC的高，
∴CE=

3

，EF=

3

，
所以AE+AF+EF=2+

3

．
∴△AEF周长的最小值为：2+

3

．