试题

题目：
（2012·乐山模拟）在锐角△ABC中，AB=AC，∠A使关于x的方程
1
4
x2-sinA·x+
3
sinA-
3
4
=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设D为BC上的一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=m，DF=n，且3m=4n和m2+n2=25，求AB的长．
答案
解：（1）∵关于x的方程
1
4
x2-sinA·x+
3
sinA-
3
4
=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=sin2A-4×
1
4
（
3
sinA-
3
4
）=0，
则（sinA-
3
2
）2=0，
故sinA-
3
2
=0，
即sinA=
3
2
，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形状为等边三角形；
青果学院
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m2+n2=25，
∴m=
4n
3
，
∴（
4n
3
）2+n2=25，
解得：n=3，则m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=
ED
BD
，
∴BD=
ED
cos30°
=
4
3
2
=
8
3
3
，
∵cos30°=
DF
DC
，
∴CD=
DF
cos30°
=2
3
，
∴BC=
8
3
3
+2
3
=
14
3
3
，
则AB的长为
14
3
3
．
解：（1）∵关于x的方程
1
4
x2-sinA·x+
3
sinA-
3
4
=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=sin2A-4×
1
4
（
3
sinA-
3
4
）=0，
则（sinA-
3
2
）2=0，
故sinA-
3
2
=0，
即sinA=
3
2
，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形状为等边三角形；
青果学院
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m2+n2=25，
∴m=
4n
3
，
∴（
4n
3
）2+n2=25，
解得：n=3，则m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=
ED
BD
，
∴BD=
ED
cos30°
=
4
3
2
=
8
3
3
，
∵cos30°=
DF
DC
，
∴CD=
DF
cos30°
=2
3
，
∴BC=
8
3
3
+2
3
=
14
3
3
，
则AB的长为
14
3
3
．
考点梳理
一元二次方程的应用；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
（1）利用根的判别式求出sinA=
3
2
，进而得出∠A=60°，再利用AB=AC，求出△ABC的形状．
（2）根据题意可得出∠BDE=∠CDF=30°，再由锐角三角函数关系可得出BD，CD，从而求出BC进而得出AB的长．
此题考查了等边三角形的性质与判定以及一元二次方程根的判别式、锐角三角函数关系等知识，解题的关键是求出BD，CD的长．
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