试题

（2006·上海模拟）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4．以点C为旋转中心把△ABC旋转到△A′B′C，点B在边A′B′上，边A′C与边AB相交于点D．求△ABC与△A′B′C重叠部分的面积．

解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABC绕点C旋转到△A′B′C，且点B在边A′B′上，
∴BC=B′C=4，∠B′=∠ABC=60°，
∴△B′BC为等边三角形，
∴∠BCB′=60°，
∵∠A′CB′=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BD=

1

2

BC=2，CD=

3

BD=2

3

，
∴S_△BCD=

1

2

BD·CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
即△ABC与△A′B′C重叠部分的面积为2

3

．
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABC绕点C旋转到△A′B′C，且点B在边A′B′上，
∴BC=B′C=4，∠B′=∠ABC=60°，
∴△B′BC为等边三角形，
∴∠BCB′=60°，
∵∠A′CB′=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BD=

1

2

BC=2，CD=

3

BD=2

3

，
∴S_△BCD=

1

2

BD·CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
即△ABC与△A′B′C重叠部分的面积为2

3

．