试题

题目：
青果学院（2010·南昌模拟）如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．
（1）求证：DM=DN；
（2）当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．
答案
青果学院（1）证明：由题意知∠1=∠2，
又AB∥CD，得∠1=∠3，
则∠2=∠3．
故DM=DN；

（2）解：当AB=
3
AD时，△DMN是等边三角形．
证明：连接BD．
∵∠A=90°，AB=
3
AD，
∴tan∠ABD=
AB
AD
AD
AB
=
3
3
，
∴∠ABD=30°．
∵BM=MD，
∴∠ABD=∠MDB=30°，
∴∠BMD=120°．
∴∠1=∠2=60°．
又DM=DN，
∴△DMN是等边三角形．
青果学院（1）证明：由题意知∠1=∠2，
又AB∥CD，得∠1=∠3，
则∠2=∠3．
故DM=DN；

（2）解：当AB=
3
AD时，△DMN是等边三角形．
证明：连接BD．
∵∠A=90°，AB=
3
AD，
∴tan∠ABD=
AB
AD
AD
AB
=
3
3
，
∴∠ABD=30°．
∵BM=MD，
∴∠ABD=∠MDB=30°，
∴∠BMD=120°．
∴∠1=∠2=60°．
又DM=DN，
∴△DMN是等边三角形．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定．
（1）根据矩形对边平行得∠1=∠3，根据折叠的性质得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；
（2）假设△DMN是等边三角形，则∠ADM=30°．有MD=2AM，AD=
3
AM，AB=3AM，得AB=
3
AD．
此题通过折叠考查了三角形的有关知识，难度中等．
几何综合题；压轴题．
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