试题

题目：
如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．
青果学院
答案
解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：
连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，
∵S△PAB=
1
2
AB·PD，S△PAC=
1
2
AC·PE，S△CAB=
1
2
AB·CF，
又∵AB=AC，
∴S△PAC=
1
2
AB·PE，
∴
1
2
AB·PD=
1
2
AB·CF+
1
2
AB·PE，
即
1
2
AB（PE+CF）=
1
2
AB·PD，
∴PD=PE+CF．
解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：
连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，
∵S△PAB=
1
2
AB·PD，S△PAC=
1
2
AC·PE，S△CAB=
1
2
AB·CF，
又∵AB=AC，
∴S△PAC=
1
2
AB·PE，
∴
1
2
AB·PD=
1
2
AB·CF+
1
2
AB·PE，
即
1
2
AB（PE+CF）=
1
2
AB·PD，
∴PD=PE+CF．
考点梳理
等腰三角形的性质；三角形的面积．
猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=
1
2
AB·PD，S△PAC=
1
2
AC·PE，S△CAB=
1
2
AB·CF，S△PAC=
1
2
AC·PE，
1
2
AB·PD=
1
2
AB·CF+
1
2
AC·PE，即可求证．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明．
证明题．
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