试题

题目：
已知a、b、c为实数，设A=a2-2b+
π
3
，B=b2-2c+
π
3
，C=c2-2a+
π
3
．
（1）判断A+B+C的符号并说明理由；
（2）证明：A、B、C中至少有一个值大于零．
答案
解：（1）A+B+C=a2-2b+
π
3
+（b2-2c+
π
3
）+（c 2-2a+
π
3
），
=a 2+b 2+c 2-2a-2b-2c+π，
=a 2-2a+1+（b 2-2b+1）+（c 2-2c+1）-3+π，
=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+π-3，
∵（a-1）2≥0，（b-1）2≥0，（c-1）2≥0，π-3＞0，
∴=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+π-3＞0，
故A+B+C＞0；

（2）∵A+B+C＞0，
∴A、B、C中至少有一个值大于零．
解：（1）A+B+C=a2-2b+
π
3
+（b2-2c+
π
3
）+（c 2-2a+
π
3
），
=a 2+b 2+c 2-2a-2b-2c+π，
=a 2-2a+1+（b 2-2b+1）+（c 2-2c+1）-3+π，
=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+π-3，
∵（a-1）2≥0，（b-1）2≥0，（c-1）2≥0，π-3＞0，
∴=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+π-3＞0，
故A+B+C＞0；

（2）∵A+B+C＞0，
∴A、B、C中至少有一个值大于零．
考点梳理
整式的加减．
（1）计算出A+B+C，然后进行配方，根据任何数的完全平方式一定是非负数，即可作出判断；
（2）根据加法法则即可判断．
本题主要考查了整式的加减法以及完全平方式，正确进行配方是解决本题的关键．
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