试题

如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠BAC的角平分线．CD⊥AE，与AE的延长线交于D点，与AB的延长线交于F点．
求证：CD=

1

2

AE．

证明：∵CD⊥AE，
∴∠ADC=90°，
∴∠4+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠4，
在△CBF和△ABE中，

∠1=∠4 AB=CB ∠ABE=∠CBF=90°

，
∴△CBF≌△ABE（ASA），
∴CF=AE，
∵AE是∠BAC的角平分线，CD⊥AE，
∴∠1=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠1 AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF=

1

2

CF，
∵AE=CF，
∴CD=

1

2

AE．
证明：∵CD⊥AE，
∴∠ADC=90°，
∴∠4+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠4，
在△CBF和△ABE中，

∠1=∠4 AB=CB ∠ABE=∠CBF=90°

，
∴△CBF≌△ABE（ASA），
∴CF=AE，
∵AE是∠BAC的角平分线，CD⊥AE，
∴∠1=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠1 AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF=

1

2

CF，
∵AE=CF，
∴CD=

1

2

AE．