试题

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=4，求CD的长．

解：（1）证明：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°．
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；

（2）在△ACB和△CDE中，

∠B=∠DEC=90° BC=DE ∠ACB=∠CDE

，
∴△ACB≌△CDE．
∴AC=CD．…（4分）
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8．
∴CD=8．…（5分）
解：（1）证明：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°．
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；

（2）在△ACB和△CDE中，

∠B=∠DEC=90° BC=DE ∠ACB=∠CDE

，
∴△ACB≌△CDE．
∴AC=CD．…（4分）
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8．
∴CD=8．…（5分）