试题

（2013·义乌市）如图，直线l₁⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l₁上的动点．直线l₂：y=x+1交l₁于点C，过点B作直线l₃垂直于l₂，垂足为D，过点O，B的直线l₄交l₂于点E，当直线l₁，l₂，l₃能围成三角形时，设该三角形面积为S₁，当直线l₂，l₃，l₄能围成三角形时，设该三角形面积为S₂．
（1）若点B在线段AC上，且S₁=S₂，则B点坐标为；
（2）若点B在直线l₁上，且S₂=

3

S₁，则∠BOA的度数为．

解：（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
则BD=CD=

2

2

BC=

2

2

|3-m|，S₁=

1

2

×（

2

2

|3-m|）²=

1

4

（3-m）²．
设直线l₄的解析式是y=kx，则2k=m，解得：k=

m

2

，
则直线的解析式是y=

m

2

x．
根据题意得：

y= m 2 x y=x+1

，解得：

x= 2 m-2 y= m m-2

，
则E的坐标是（

2

m-2

，

m

m-2

）．
S_△BCE=

1

2

BC·|

2

m-2

-2|=

1

2

|3-m|·|

6-2m

m-2

|=

(3-m)2

|m-2|

．
∴S₂=S_△BCE-S₁=

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）^2_．
当S₁=S₂时，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

1

4

（3-m）²．
解得：m₁=4（不合题意舍去）或m₂=0，
则B的坐标是（2，0）；

（2）当S₂=

3

S₁时，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

3

4

（3-m）²．
解得：m=4+2

3

或4-2

3

．
则AB=4+2

3

或4-2

3

．
∴tan∠BOA=2+

3

或2-

3

．
∴∠BOA=75°或15°．