试题

如图，在平面直角坐标系中，当三角形直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POA为等腰三角形．请写出所有满足条件的点B的坐标．

解：∵P坐标为（3，3），
∴∠AOP=45°，
①如图1，若OA=PA，则∠AOP=∠OPA=45°，
∴∠OAP=90°，
即PA⊥x轴，
∵∠APB=90°，
∴PB⊥y轴，
∴点B的坐标为：（0，3）；
②如图2，若OP=PA，则∠AOP=∠OAP=45°，
∴∠OPA=90°，
∵∠BPA=90°，
∴点B与点O重合，
∴点B的坐标为（0，0）；
③如图3，若OA=OP，则∠OPA=∠OAP=

180°-∠AOP

2

=67.5°，
过点P作PC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥OP于点D，
则PC∥OA，
∴∠OPC=∠AOP=45°，
∵∠APB=90°，
∴∠OPB=∠APB-∠OPA=22.5°，
∴∠OPB=∠CPB=22.5°，
∴BC=BD，
设OB=a，
则BD=BC=3-a，
∵∠BOP=45°，
在Rt△OBD中，BD=OB·sin45°，
即3-a=

2

2

a，
解得：a=6-3

2

．
综上可得：点B的坐标为：（0，3），（0，0），（0，6-3

2

）．
故答案为：（0，3），（0，0），（0，6-3

2

）．