试题

题目：
青果学院（2013·河南模拟）如图，已知A（4，0），点A1、A2、…、An-1将线段OAn等分，点B1、B2、…、Bn-1、B在直线y=0.5x上，且A1B1∥A2B2∥…∥An-1Bn-1∥AB∥y轴．记△OA1B1、△A1A2B2、…、△An-2An-1Bn-1、△An-1AB的面积分别为S1、S2、…Sn-1、Sn．当n越来越大时，猜想S1+S2+…+Sn最近的常数是（　　）



答案
B
解：∵A1（
4
n
，0），A2（
8
n
，0），…，An-1（
4(n-1)
n
，0），
B1（
4
n
，
2
n
），B2（
8
n
，
4
n
），…，Bn-1（
4(n-1)
n
，
2(n-1)
n
），B（4，2），
∴S1=
1
2
×
4
n
×
2
n
；
S2=
1
2
×
4
n
×
4
n
；
…；
Sn-1=
1
2
×
4
n
×
2(n-1)
n
；
Sn=
1
2
×
4
n
×2；
∴S1+S2+…+Sn=
1
2
×
4
n
×
2
n
+
1
2
×
4
n
×
4
n
+…+
1
2
×
4
n
×
2(n-1)
n
+
1
2
×
4
n
×2；
=
1
2
×
4
n
×
2+4+6+…+2n
n
；
=2+
2
n
，
∵当n越来越大时，
2
n
接近于0，
∴S1+S2+…+Sn最近的常数是2．
故选B．
考点梳理
一次函数综合题．
根据题意可得出A1（
4
n
，0），A2（
8
n
，0），…，An-1（
4(n-1)
n
，0），B1（
4
n
，
2
n
），B2（
8
n
，
4
n
），…，Bn-1（
4(n-1)
n
，
2(n-1)
n
），B（4，2），从而得出△OA1B1、△A1A2B2、…、△An-2An-1Bn-1、△An-1AB的面积分别为
1
2
×
4
n
×
2
n
；
1
2
×
4
n
×
4
n
；…；
1
2
×
4
n
×
2(n-1)
n
；
1
2
×
4
n
×2；则S1+S2+…+Sn=2+
2
n
，当n越来越大时，
2
n
接近于0，从而得出答案．
本题是一道规律性的题目，考查了一次函数，是综合题，求得点A1、A2、…、An-1和点B1、B2、…、Bn-1、B坐标是解题的关键．
压轴题；规律型．
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