试题

题目：
青果学院如图，矩形ABCO的对角线AC、OB交于点A1，直线AC的解析式为y=
3
3
x+2，过点A1作A1O1⊥OC于O1，过点A1作A1B1⊥BC于B1，得到第二个矩形A1B1CO1，A1C、O1B1交于点A2，过点A2作A2O2⊥OC于O2，过点A2作A2B2⊥BC于B2，得到第三个矩形A2B2CO2，…，依此类推，这样作的第n个矩形对角线交点An的坐标为
（（
1
2
）n-1·
3
-2
3
，（
1
2
）n-1）
（（
1
2
）n-1·
3
-2
3
，（
1
2
）n-1）
．
答案
（（
1
2
）n-1·
3
-2
3
，（
1
2
）n-1）

解：在y=
3
3
x+2中，令x=0解得：y=2；
令y=0，解得：x=-2
3
，
则OC=2
3
，OA=2．
∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，OA1∥OA，
∴△A1CO1∽△ACO，相似比是
1
2
；
同理，△A2CO2∽△A1CO1，相似比是
1
2
；
则△A2CO2∽△ACO，相似比是
1
4
=（
1
2
）2，
同理：△AnCOn∽△ACO，相似比是（
1
2
）n．
∴
AnOn
OA
=
COn
OC
=（
1
2
）n．
∴AnOn=（
1
2
）n·OA=（
1
2
）n×2=（
1
2
）n-1．
OCn=（
1
2
）n×OC=（
1
2
）n×2
3
=（
1
2
）n-1·
3
，OOn=2
3
-（
1
2
）n-1·
3
，
则点An的坐标为（（
1
2
）n-1·
3
-2
3
，（
1
2
）n-1）
考点梳理
一次函数综合题．
根据矩形的性质，以及相似三角形的判定方法，可以证得：△AnCOn∽△ACO，相似比是（
1
2
）n．即可求得AnOn，OOn的长，从而求得点An的坐标．
本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确理解：△AnCOn∽△ACO，相似比是（
1
2
）n是关键．
压轴题；规律型．
找相似题