试题

如图，直线y1=

1

2

x+3与x、y轴交于点A、B两点，直线y2=-

1

3

x-2与x轴交于点A，点M是线段AB上的一动点，过M的直线与y轴平行，且交直线y₂于点N，点P在y轴上．若△PMN是等腰直角三角形，则符合条件的点P坐标是．

解：设M（x，

1

2

x+3），则N（x，-

1

3

x-2），MN=（

1

2

x+3）-（-

1

3

x-2）=

5

6

x+5．
△PMN是等腰直角三角形时，可分三种情况进行讨论：
①当∠PMN=90°，MN=MP时，点P坐标为（0，

1

2

x+3），

5

6

x+5=-x，
解得x=-

30

11

，

1

2

x+3=

1

2

×（-

30

11

）+3=

18

11

，
所以点P₁坐标为（0，

18

11

）；
②当∠MNP=90°，MN=NP时，点P坐标为（0，-

1

3

x-2），

5

6

x+5=-x，
解得x=-

30

11

，
-

1

3

x-2=-

1

3

×（-

30

11

）-2=-

12

11

，
所以点P₂坐标为（0，-

12

11

）；
③当∠MPN=90°，MP=NP时，过P作PC⊥MN于C，则PC=

1

2

MN．

1

2

[（

1

2

x+3）+（-

1

3

x-2）]=

1

12

x+

1

2

，
点P坐标为（0，

1

12

x+

1

2

），
-x=

1

2

（

5

6

x+5），
解得x=-

30

17

，

1

12

x+

1

2

=

1

12

×（-

30

17

）+

1

2

=

6

17

，
所以点P₃坐标为（0，

6

17

）；
综上所述，点P坐标为P₁（0，

18

11

）或P₂（0，-

12

11

）或P₃（0，

6

17

）．
故答案为：（0，

18

11

）或（0，-

12

11

）或（0，

6

17

）．