试题

在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃，…，点B₁，B₂，B₃，…，均在x轴上，且OA₁=OA₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=A₁B₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n=2，分别以OA₁，OA₂，A₂A₃，…，A_n-1A_n，A₁B₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n为底边的等腰三角形的第三个顶点C₁，C₂，C₃，…，C_n，D₁，D₂，D₃，…，D_n在直线y=x+2上，记△OA₁C₁的面积为S₁，△OA₂C₂的面积为S₂，…，△A_n-1A_nC_n的面积为S_n，记△A₁B₁D₁的面积为T₁，△B₁B₂D₂的面积为T₂，…，△B_n-1B_nD_n的面积为T_n，那么S₁=，T₁+T₂=，S₁+S₂+…+S_n+T₁+T₂+…+T_n=．

解：如图，过点C₁F⊥x轴于F、C₂⊥x轴于E，
∵△A₁C₁O和△OC₂A₂为等腰三角形，且OA₁=OA₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=A₁B₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n=2，
∴OF=OE=

1

2

OA₁=

1

2

OA₂=1，
∴F（-1，0），E（1，0），
∴C₁、C₂的横坐标分别为：-1，1．
∵C₁、C₂都在y=x+2上，
∴C₁（-1，1），C₂（1，3），
同理可以求出C3、C4、C5…D1、D2、D3、D4…的坐标，
∴C₁F=1，C₂E=3，
∴S₁=

1×2

2

=1，S₂=

2×3

2

=3，S₃=

2×5

2

=5，…S_n=2n-1，
同理可得：T₁=

2×1

2

=1，T₂=

2×3

2

=3，T₃=

2×5

2

=5，、…T_n=2n-1，
∴T₁+T₂=1+3=4．
∵1+3=4=2²，
1+3+5=9=3²，
1+3+5+7=16=4²，
…
1+3+5+7+…+2n-1=n²
∴S₁+S₂+…+S_n+T₁+T₂+…+T_n=1+3+5+7+…+2n-1+1+3+5+7+…+2n-1，
=（1+3+5+7+…+2n-1）+（1+3+5+7+…+2n-1），
=n²+n²，
=2n²．
故答案为：1，4，2n²．