试题

如图，⊙M的圆心M在x轴上，⊙M分别交x轴于点A、B（A在B的左边），交y轴的正半轴于点C，弦CD∥x轴交⊙M于点D，已知A、B两点的横坐标分别是方程x²=4（x+3）的两个根，
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）点N是直线AD上的一个动点，求△MNB周长的最小值，并在图中画出△MNB周长最小时点N的位置．

解：（1）方程x²=4（x+3）整理得，
x²-4x-12=0，
即（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，x-6=0，
解得x=-2，或x=6，
∴点A、B的坐标分别为：A（-2，0），B（6，0），
（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，
∴点M的坐标是（2，0），⊙M的半径是4，
连接CM，则OC=

CM2-OM2

=

42-22

=2

3

，
∴点C的坐标是（0，2

3

）；

（2）如图1，过点M作ME⊥CD，
则CE=ED=

1

2

CD，
∵CD∥x轴，
∴ME⊥x轴，
∴四边形OMEC是矩形，
∴CE=OM=2，
∴CD=4，
点D的坐标是（4，2

3

），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∴

-2k+b=0 4k+b=2 3

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AD的解析式是y=

3

3

x+

2 3

3

；

（3）如图2，设直线AD与y轴的交点是F，
当x=0时，y=

3

3

×0+

2 3

3

=

2 3

3

，
∴点F的坐标是（0，

2 3

3

），
在Rt△OMF中，FM=

OF2+OM2

=

( 2 3 3 )2+22

=

4 3

3

，

2 3

3

+

4 3

3

=2

3

，
∴点M关于直线AD的对称点是点C，
连接BC交直线AD于点N，连接MN，则△MNB就是所要求作的周长最小的三角形，
此时，在△OBC中，BC=

OB2+OC2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
△MNB周长=BN+CN+BM=BC+BM=4

3

+4，
点N的位置如图所示．
解：（1）方程x²=4（x+3）整理得，
x²-4x-12=0，
即（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，x-6=0，
解得x=-2，或x=6，
∴点A、B的坐标分别为：A（-2，0），B（6，0），
（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，
∴点M的坐标是（2，0），⊙M的半径是4，
连接CM，则OC=

CM2-OM2

=

42-22

=2

3

，
∴点C的坐标是（0，2

3

）；

（2）如图1，过点M作ME⊥CD，
则CE=ED=

1

2

CD，
∵CD∥x轴，
∴ME⊥x轴，
∴四边形OMEC是矩形，
∴CE=OM=2，
∴CD=4，
点D的坐标是（4，2

3

），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∴

-2k+b=0 4k+b=2 3

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AD的解析式是y=

3

3

x+

2 3

3

；

（3）如图2，设直线AD与y轴的交点是F，
当x=0时，y=

3

3

×0+

2 3

3

=

2 3

3

，
∴点F的坐标是（0，

2 3

3

），
在Rt△OMF中，FM=

OF2+OM2

=

( 2 3 3 )2+22

=

4 3

3

，

2 3

3

+

4 3

3

=2

3

，
∴点M关于直线AD的对称点是点C，
连接BC交直线AD于点N，连接MN，则△MNB就是所要求作的周长最小的三角形，
此时，在△OBC中，BC=

OB2+OC2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
△MNB周长=BN+CN+BM=BC+BM=4

3

+4，
点N的位置如图所示．