试题

如图，已知直线y=-kx+4k（k＞0）与x轴y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C，过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．
（1）若∠OCM=30°，求P的坐标；
（2）设OM=x，AN=y，求y与x的函数关系式；
（3）若OM=1，求当k为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

解：（1）过P点作PE⊥y轴，垂足为E，
∵直线ABy=-kx+4k，∴A（4，0），B（0，4k），
∴OA=4，OC=2，
在Rt△OMC中，∠OCM=30°∴OM=OC·tan30°=

2 3

3

，
由切线长定理可知PM=OM=

2 3

3

，
且∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，∴∠PME=60°，
在Rt△PME中，PE=PM·sin60°=1，EM=PM·cos60°=

3

3

，
∴OE=OM+ME=

2 3

3

+

3

3

=

3

，即P（1，

3

）；

（2）过M点作MD⊥AN，垂足为D，
∵MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN=x+y，DN=AN-AD=AN-OM=y-x，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，即4²+（y-x）²=（x+y）²，
整理，得y=

4

x

；

（3）∵OM=x=1，
∴AN=4，
则M（0，1），N（4，4），
设直线MN的解析式y=ax+b，则

b=1 4a+b=4

，
解得

a= 3 4 b=1

，
∴直线AB：y=

3

4

x+1，
联立

y= 3 4 x+1 y=-kx+4k

，
解得x=

16k-4

4k+3

，即为F点的横坐标，
∴S_△AFN=

1

2

×4×（4-

16k-4

4k+3

）=

32

4k+3

，
依题意，得S_△AFN=

1

2

S_梯形OMNA，即

32

4k+3

=

1

2

×

1

2

×4×（1+4），
解得k=

17

20

，
∴当k=

17

20

时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．
解：（1）过P点作PE⊥y轴，垂足为E，
∵直线ABy=-kx+4k，∴A（4，0），B（0，4k），
∴OA=4，OC=2，
在Rt△OMC中，∠OCM=30°∴OM=OC·tan30°=

2 3

3

，
由切线长定理可知PM=OM=

2 3

3

，
且∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，∴∠PME=60°，
在Rt△PME中，PE=PM·sin60°=1，EM=PM·cos60°=

3

3

，
∴OE=OM+ME=

2 3

3

+

3

3

=

3

，即P（1，

3

）；

（2）过M点作MD⊥AN，垂足为D，
∵MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN=x+y，DN=AN-AD=AN-OM=y-x，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，即4²+（y-x）²=（x+y）²，
整理，得y=

4

x

；

（3）∵OM=x=1，
∴AN=4，
则M（0，1），N（4，4），
设直线MN的解析式y=ax+b，则

b=1 4a+b=4

，
解得

a= 3 4 b=1

，
∴直线AB：y=

3

4

x+1，
联立

y= 3 4 x+1 y=-kx+4k

，
解得x=

16k-4

4k+3

，即为F点的横坐标，
∴S_△AFN=

1

2

×4×（4-

16k-4

4k+3

）=

32

4k+3

，
依题意，得S_△AFN=

1

2

S_梯形OMNA，即

32

4k+3

=

1

2

×

1

2

×4×（1+4），
解得k=

17

20

，
∴当k=

17

20

时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．