试题

题目：
如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底边OA在x轴的负半轴上，CB∥OA，点B的坐标为（-
10
3
，4），OA=
3
2
CB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接PA，设点P的运动时间为t秒．设△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以PA为底△PAB是等腰三角形？
青果学院
答案
解：（1）∵B的坐标为（-
10
3
，4），OA=
3
2
CB，
∴OA=
3
2
×
10
3
=5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（-
10
3
，4）分别代入解析式y=kx+b得，
-5k+b=0
-
10
3
k+b=4
，
解得
k=
12
5
b=12
，
∴一次函数解析式为y=
12
5
x+12；

青果学院（2）当0≤t＜
10
3
时，如图1，
∵BP=BC-t=
10
3
-t，
△PAB的高为4，
∴S=
1
2
×（
10
3
-t）×4=-2t+
20
3
，（0≤t＜
10
3
）．
当t≥
10
3
时，如图2，
∵BP=t-
10
3
，△PAB的高为4，
∴S=
1
2
（t-
10
3
）×4=2t-
20
3
，（t≥
10
3
）．


青果学院（3）当0≤t＜
10
3
时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-
10
3
=
5
3
，BD=4，
∴AB=
(
5
3
)2+42
=
13
3
；
当AB=BP时，
13
3
=
10
3
-t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥
10
3
时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-
10
3
）2=（
13
3
）2，
解得t1=
10+
69
3
，t2=
10-
69
3
（舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t=
10+
69
3
．
解：（1）∵B的坐标为（-
10
3
，4），OA=
3
2
CB，
∴OA=
3
2
×
10
3
=5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（-
10
3
，4）分别代入解析式y=kx+b得，
-5k+b=0
-
10
3
k+b=4
，
解得
k=
12
5
b=12
，
∴一次函数解析式为y=
12
5
x+12；

青果学院（2）当0≤t＜
10
3
时，如图1，
∵BP=BC-t=
10
3
-t，
△PAB的高为4，
∴S=
1
2
×（
10
3
-t）×4=-2t+
20
3
，（0≤t＜
10
3
）．
当t≥
10
3
时，如图2，
∵BP=t-
10
3
，△PAB的高为4，
∴S=
1
2
（t-
10
3
）×4=2t-
20
3
，（t≥
10
3
）．


青果学院（3）当0≤t＜
10
3
时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-
10
3
=
5
3
，BD=4，
∴AB=
(
5
3
)2+42
=
13
3
；
当AB=BP时，
13
3
=
10
3
-t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥
10
3
时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-
10
3
）2=（
13
3
）2，
解得t1=
10+
69
3
，t2=
10-
69
3
（舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t=
10+
69
3
．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）先根据点B的坐标为（-
10
3
，4），OA=
3
2
CB，求出A点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式；
（2）由于△PAB的高即为B点纵坐标，BP=BC-t或BP=t-
10
3
，利用三角形面积公式即可直接求出S的表达式；
（3）求出AB的长，令AB=BP，即可求出△PAB是以PA为底的等腰三角形时t的值．
本题考查了直角梯形的性质、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，综合性强，计算量大，要认真对待．
探究型．
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