试题

（2013·攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

2

2

．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，
∴D（0，4）．
∵sin∠DAB=

2

2

，
∴∠DAB=45°，
∴OA=OD=4，
∴A（-4，0）．
设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

b=4 -4k+b=0

，
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如答图1所示：

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ·cos∠CBF=5t·

3

5

=3t．
∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，
S=

1

2

PM·PE=

1

2

×2t×（14-5t）=-5t²+14t；
②当1＜t≤2时，如答图2所示：

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，
S=

1

2

PM·PE=

1

2

×2t×（16-7t）=-7t²+16t；
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=

16

7

．
当2＜t＜

16

7

时，如答图3所示：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，
S=

1

2

PM·MQ=

1

2

×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①当0＜t≤1时，S=-5t²+14t=-5（t-

7

5

）²+

49

5

，
∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=

7

5

，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；
②当1＜t≤2时，S=-7t²+16t=-7（t-

8

7

）²+

64

7

，
∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=

8

7

，
∴当t=

8

7

时，S有最大值，最大值为

64

7

；
③当2＜t＜

16

7

时，S=-14t+32
∵k=-14＜0，
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；
当t=

16

7

时，S=0，
∴0＜S＜4．
综上所述，当t=

8

7

时，S有最大值，最大值为

64

7

．

（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：
①如答图4所示，点M在线段CD上，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=

20

9

；

②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，
此时△QMN为等腰三角形，t=

12

5

．
故当t=

20

9

或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．